Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} e^{x} & e^{2 x} & e^{3 x} \\ e^{x} & 2 e^{2 x} & 3 e^{3 x} \\ e^{x} & 4 e^{2 x} & 9 e^{3} \end{array}]$

Paso 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Paso 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Paso 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 e^{2 x} & 3 e^{3 x} \\ 4 e^{2 x} & 9 e^{3} \end{array} |$

Paso 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$e^{x} | \begin{array}{c} 2 e^{2 x} & 3 e^{3 x} \\ 4 e^{2 x} & 9 e^{3} \end{array} |$

Paso 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} e^{x} & 3 e^{3 x} \\ e^{x} & 9 e^{3} \end{array} |$

Paso 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- e^{2 x} | \begin{array}{c} e^{x} & 3 e^{3 x} \\ e^{x} & 9 e^{3} \end{array} |$

Paso 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} e^{x} & 2 e^{2 x} \\ e^{x} & 4 e^{2 x} \end{array} |$

Paso 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$e^{3 x} | \begin{array}{c} e^{x} & 2 e^{2 x} \\ e^{x} & 4 e^{2 x} \end{array} |$

Paso 1.9

Add the terms together.

$e^{x} | \begin{array}{c} 2 e^{2 x} & 3 e^{3 x} \\ 4 e^{2 x} & 9 e^{3} \end{array} | - e^{2 x} | \begin{array}{c} e^{x} & 3 e^{3 x} \\ e^{x} & 9 e^{3} \end{array} | + e^{3 x} | \begin{array}{c} e^{x} & 2 e^{2 x} \\ e^{x} & 4 e^{2 x} \end{array} |$

Paso 2

Evalúa $| \begin{array}{c} 2 e^{2 x} & 3 e^{3 x} \\ 4 e^{2 x} & 9 e^{3} \end{array} |$ .

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Paso 2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$e^{x} (2 e^{2 x} (9 e^{3}) - 4 e^{2 x} (3 e^{3 x})) - e^{2 x} | \begin{array}{c} e^{x} & 3 e^{3 x} \\ e^{x} & 9 e^{3} \end{array} | + e^{3 x} | \begin{array}{c} e^{x} & 2 e^{2 x} \\ e^{x} & 4 e^{2 x} \end{array} |$

Paso 2.2

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1

Multiplica $e^{2 x}$ por $e^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.1.1

Mueve $e^{3}$ .

$e^{x} (2 (e^{3} e^{2 x}) \cdot 9 - 4 e^{2 x} (3 e^{3 x})) - e^{2 x} | \begin{array}{c} e^{x} & 3 e^{3 x} \\ e^{x} & 9 e^{3} \end{array} | + e^{3 x} | \begin{array}{c} e^{x} & 2 e^{2 x} \\ e^{x} & 4 e^{2 x} \end{array} |$

Paso 2.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$e^{x} (2 e^{3 + 2 x} \cdot 9 - 4 e^{2 x} (3 e^{3 x})) - e^{2 x} | \begin{array}{c} e^{x} & 3 e^{3 x} \\ e^{x} & 9 e^{3} \end{array} | + e^{3 x} | \begin{array}{c} e^{x} & 2 e^{2 x} \\ e^{x} & 4 e^{2 x} \end{array} |$

Paso 2.2.2

Multiplica $9$ por $2$ .

$e^{x} (18 e^{3 + 2 x} - 4 e^{2 x} (3 e^{3 x})) - e^{2 x} | \begin{array}{c} e^{x} & 3 e^{3 x} \\ e^{x} & 9 e^{3} \end{array} | + e^{3 x} | \begin{array}{c} e^{x} & 2 e^{2 x} \\ e^{x} & 4 e^{2 x} \end{array} |$

Paso 2.2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{x} (18 e^{3 + 2 x} - 4 \cdot 3 e^{2 x} e^{3 x}) - e^{2 x} | \begin{array}{c} e^{x} & 3 e^{3 x} \\ e^{x} & 9 e^{3} \end{array} | + e^{3 x} | \begin{array}{c} e^{x} & 2 e^{2 x} \\ e^{x} & 4 e^{2 x} \end{array} |$

Paso 2.2.4

Multiplica $e^{2 x}$ por $e^{3 x}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.4.1

Mueve $e^{3 x}$ .

$e^{x} (18 e^{3 + 2 x} - 4 \cdot 3 (e^{3 x} e^{2 x})) - e^{2 x} | \begin{array}{c} e^{x} & 3 e^{3 x} \\ e^{x} & 9 e^{3} \end{array} | + e^{3 x} | \begin{array}{c} e^{x} & 2 e^{2 x} \\ e^{x} & 4 e^{2 x} \end{array} |$

Paso 2.2.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$e^{x} (18 e^{3 + 2 x} - 4 \cdot 3 e^{3 x + 2 x}) - e^{2 x} | \begin{array}{c} e^{x} & 3 e^{3 x} \\ e^{x} & 9 e^{3} \end{array} | + e^{3 x} | \begin{array}{c} e^{x} & 2 e^{2 x} \\ e^{x} & 4 e^{2 x} \end{array} |$

Paso 2.2.4.3

Suma $3 x$ y $2 x$ .

$e^{x} (18 e^{3 + 2 x} - 4 \cdot 3 e^{5 x}) - e^{2 x} | \begin{array}{c} e^{x} & 3 e^{3 x} \\ e^{x} & 9 e^{3} \end{array} | + e^{3 x} | \begin{array}{c} e^{x} & 2 e^{2 x} \\ e^{x} & 4 e^{2 x} \end{array} |$

Paso 2.2.5

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$e^{x} (18 e^{3 + 2 x} - 12 e^{5 x}) - e^{2 x} | \begin{array}{c} e^{x} & 3 e^{3 x} \\ e^{x} & 9 e^{3} \end{array} | + e^{3 x} | \begin{array}{c} e^{x} & 2 e^{2 x} \\ e^{x} & 4 e^{2 x} \end{array} |$

Paso 3

Evalúa $| \begin{array}{c} e^{x} & 3 e^{3 x} \\ e^{x} & 9 e^{3} \end{array} |$ .

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Paso 3.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$e^{x} (18 e^{3 + 2 x} - 12 e^{5 x}) - e^{2 x} (e^{x} (9 e^{3}) - e^{x} (3 e^{3 x})) + e^{3 x} | \begin{array}{c} e^{x} & 2 e^{2 x} \\ e^{x} & 4 e^{2 x} \end{array} |$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Multiplica $e^{x}$ por $e^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.1.1

Mueve $e^{3}$ .

$e^{x} (18 e^{3 + 2 x} - 12 e^{5 x}) - e^{2 x} (e^{3} e^{x} \cdot 9 - e^{x} (3 e^{3 x})) + e^{3 x} | \begin{array}{c} e^{x} & 2 e^{2 x} \\ e^{x} & 4 e^{2 x} \end{array} |$

Paso 3.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$e^{x} (18 e^{3 + 2 x} - 12 e^{5 x}) - e^{2 x} (e^{3 + x} \cdot 9 - e^{x} (3 e^{3 x})) + e^{3 x} | \begin{array}{c} e^{x} & 2 e^{2 x} \\ e^{x} & 4 e^{2 x} \end{array} |$

Paso 3.2.2

Mueve $9$ a la izquierda de $e^{3 + x}$ .

$e^{x} (18 e^{3 + 2 x} - 12 e^{5 x}) - e^{2 x} (9 \cdot e^{3 + x} - e^{x} (3 e^{3 x})) + e^{3 x} | \begin{array}{c} e^{x} & 2 e^{2 x} \\ e^{x} & 4 e^{2 x} \end{array} |$

Paso 3.2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{x} (18 e^{3 + 2 x} - 12 e^{5 x}) - e^{2 x} (9 e^{3 + x} - 1 \cdot 3 e^{x} e^{3 x}) + e^{3 x} | \begin{array}{c} e^{x} & 2 e^{2 x} \\ e^{x} & 4 e^{2 x} \end{array} |$

Paso 3.2.4

Multiplica $e^{x}$ por $e^{3 x}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.4.1

Mueve $e^{3 x}$ .

$e^{x} (18 e^{3 + 2 x} - 12 e^{5 x}) - e^{2 x} (9 e^{3 + x} - 1 \cdot 3 (e^{3 x} e^{x})) + e^{3 x} | \begin{array}{c} e^{x} & 2 e^{2 x} \\ e^{x} & 4 e^{2 x} \end{array} |$

Paso 3.2.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$e^{x} (18 e^{3 + 2 x} - 12 e^{5 x}) - e^{2 x} (9 e^{3 + x} - 1 \cdot 3 e^{3 x + x}) + e^{3 x} | \begin{array}{c} e^{x} & 2 e^{2 x} \\ e^{x} & 4 e^{2 x} \end{array} |$

Paso 3.2.4.3

Suma $3 x$ y $x$ .

$e^{x} (18 e^{3 + 2 x} - 12 e^{5 x}) - e^{2 x} (9 e^{3 + x} - 1 \cdot 3 e^{4 x}) + e^{3 x} | \begin{array}{c} e^{x} & 2 e^{2 x} \\ e^{x} & 4 e^{2 x} \end{array} |$

Paso 3.2.5

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$e^{x} (18 e^{3 + 2 x} - 12 e^{5 x}) - e^{2 x} (9 e^{3 + x} - 3 e^{4 x}) + e^{3 x} | \begin{array}{c} e^{x} & 2 e^{2 x} \\ e^{x} & 4 e^{2 x} \end{array} |$

Paso 4

Evalúa $| \begin{array}{c} e^{x} & 2 e^{2 x} \\ e^{x} & 4 e^{2 x} \end{array} |$ .

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Paso 4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$e^{x} (18 e^{3 + 2 x} - 12 e^{5 x}) - e^{2 x} (9 e^{3 + x} - 3 e^{4 x}) + e^{3 x} (e^{x} (4 e^{2 x}) - e^{x} (2 e^{2 x}))$

Paso 4.2

Simplifica el determinante.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{x} (18 e^{3 + 2 x} - 12 e^{5 x}) - e^{2 x} (9 e^{3 + x} - 3 e^{4 x}) + e^{3 x} (4 e^{x} e^{2 x} - e^{x} (2 e^{2 x}))$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $e^{x}$ por $e^{2 x}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.1.2.1

Mueve $e^{2 x}$ .

$e^{x} (18 e^{3 + 2 x} - 12 e^{5 x}) - e^{2 x} (9 e^{3 + x} - 3 e^{4 x}) + e^{3 x} (4 (e^{2 x} e^{x}) - e^{x} (2 e^{2 x}))$

Paso 4.2.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$e^{x} (18 e^{3 + 2 x} - 12 e^{5 x}) - e^{2 x} (9 e^{3 + x} - 3 e^{4 x}) + e^{3 x} (4 e^{2 x + x} - e^{x} (2 e^{2 x}))$

Paso 4.2.1.2.3

Suma $2 x$ y $x$ .

$e^{x} (18 e^{3 + 2 x} - 12 e^{5 x}) - e^{2 x} (9 e^{3 + x} - 3 e^{4 x}) + e^{3 x} (4 e^{3 x} - e^{x} (2 e^{2 x}))$

Paso 4.2.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$e^{x} (18 e^{3 + 2 x} - 12 e^{5 x}) - e^{2 x} (9 e^{3 + x} - 3 e^{4 x}) + e^{3 x} (4 e^{3 x} - 1 \cdot 2 e^{x} e^{2 x})$

Paso 4.2.1.4

Multiplica $e^{x}$ por $e^{2 x}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.1.4.1

Mueve $e^{2 x}$ .

$e^{x} (18 e^{3 + 2 x} - 12 e^{5 x}) - e^{2 x} (9 e^{3 + x} - 3 e^{4 x}) + e^{3 x} (4 e^{3 x} - 1 \cdot 2 (e^{2 x} e^{x}))$

Paso 4.2.1.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$e^{x} (18 e^{3 + 2 x} - 12 e^{5 x}) - e^{2 x} (9 e^{3 + x} - 3 e^{4 x}) + e^{3 x} (4 e^{3 x} - 1 \cdot 2 e^{2 x + x})$

Paso 4.2.1.4.3

Suma $2 x$ y $x$ .

$e^{x} (18 e^{3 + 2 x} - 12 e^{5 x}) - e^{2 x} (9 e^{3 + x} - 3 e^{4 x}) + e^{3 x} (4 e^{3 x} - 1 \cdot 2 e^{3 x})$

Paso 4.2.1.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$e^{x} (18 e^{3 + 2 x} - 12 e^{5 x}) - e^{2 x} (9 e^{3 + x} - 3 e^{4 x}) + e^{3 x} (4 e^{3 x} - 2 e^{3 x})$

Paso 4.2.2

Resta $2 e^{3 x}$ de $4 e^{3 x}$ .

$e^{x} (18 e^{3 + 2 x} - 12 e^{5 x}) - e^{2 x} (9 e^{3 + x} - 3 e^{4 x}) + e^{3 x} (2 e^{3 x})$

Paso 5

Simplifica el determinante.

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Paso 5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$e^{x} (18 e^{3 + 2 x}) + e^{x} (- 12 e^{5 x}) - e^{2 x} (9 e^{3 + x} - 3 e^{4 x}) + e^{3 x} (2 e^{3 x})$

Paso 5.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$18 e^{x} e^{3 + 2 x} + e^{x} (- 12 e^{5 x}) - e^{2 x} (9 e^{3 + x} - 3 e^{4 x}) + e^{3 x} (2 e^{3 x})$

Paso 5.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$18 e^{x} e^{3 + 2 x} - 12 e^{x} e^{5 x} - e^{2 x} (9 e^{3 + x} - 3 e^{4 x}) + e^{3 x} (2 e^{3 x})$

Paso 5.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.4.1

Multiplica $e^{x}$ por $e^{3 + 2 x}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1.4.1.1

Mueve $e^{3 + 2 x}$ .

$18 (e^{3 + 2 x} e^{x}) - 12 e^{x} e^{5 x} - e^{2 x} (9 e^{3 + x} - 3 e^{4 x}) + e^{3 x} (2 e^{3 x})$

Paso 5.1.4.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$18 e^{3 + 2 x + x} - 12 e^{x} e^{5 x} - e^{2 x} (9 e^{3 + x} - 3 e^{4 x}) + e^{3 x} (2 e^{3 x})$

Paso 5.1.4.1.3

Suma $2 x$ y $x$ .

$18 e^{3 + 3 x} - 12 e^{x} e^{5 x} - e^{2 x} (9 e^{3 + x} - 3 e^{4 x}) + e^{3 x} (2 e^{3 x})$

Paso 5.1.4.2

Multiplica $e^{x}$ por $e^{5 x}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1.4.2.1

Mueve $e^{5 x}$ .

$18 e^{3 + 3 x} - 12 (e^{5 x} e^{x}) - e^{2 x} (9 e^{3 + x} - 3 e^{4 x}) + e^{3 x} (2 e^{3 x})$

Paso 5.1.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$18 e^{3 + 3 x} - 12 e^{5 x + x} - e^{2 x} (9 e^{3 + x} - 3 e^{4 x}) + e^{3 x} (2 e^{3 x})$

Paso 5.1.4.2.3

Suma $5 x$ y $x$ .

$18 e^{3 + 3 x} - 12 e^{6 x} - e^{2 x} (9 e^{3 + x} - 3 e^{4 x}) + e^{3 x} (2 e^{3 x})$

Paso 5.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$18 e^{3 + 3 x} - 12 e^{6 x} - e^{2 x} (9 e^{3 + x}) - e^{2 x} (- 3 e^{4 x}) + e^{3 x} (2 e^{3 x})$

Paso 5.1.6

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$18 e^{3 + 3 x} - 12 e^{6 x} - 1 \cdot 9 e^{2 x} e^{3 + x} - e^{2 x} (- 3 e^{4 x}) + e^{3 x} (2 e^{3 x})$

Paso 5.1.7

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$18 e^{3 + 3 x} - 12 e^{6 x} - 1 \cdot 9 e^{2 x} e^{3 + x} - 1 \cdot - 3 e^{2 x} e^{4 x} + e^{3 x} (2 e^{3 x})$

Paso 5.1.8

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.8.1

Multiplica $e^{2 x}$ por $e^{3 + x}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1.8.1.1

Mueve $e^{3 + x}$ .

$18 e^{3 + 3 x} - 12 e^{6 x} - 1 \cdot 9 (e^{3 + x} e^{2 x}) - 1 \cdot - 3 e^{2 x} e^{4 x} + e^{3 x} (2 e^{3 x})$

Paso 5.1.8.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$18 e^{3 + 3 x} - 12 e^{6 x} - 1 \cdot 9 e^{3 + x + 2 x} - 1 \cdot - 3 e^{2 x} e^{4 x} + e^{3 x} (2 e^{3 x})$

Paso 5.1.8.1.3

Suma $x$ y $2 x$ .

$18 e^{3 + 3 x} - 12 e^{6 x} - 1 \cdot 9 e^{3 + 3 x} - 1 \cdot - 3 e^{2 x} e^{4 x} + e^{3 x} (2 e^{3 x})$

Paso 5.1.8.2

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$18 e^{3 + 3 x} - 12 e^{6 x} - 9 e^{3 + 3 x} - 1 \cdot - 3 e^{2 x} e^{4 x} + e^{3 x} (2 e^{3 x})$

Paso 5.1.8.3

Multiplica $e^{2 x}$ por $e^{4 x}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1.8.3.1

Mueve $e^{4 x}$ .

$18 e^{3 + 3 x} - 12 e^{6 x} - 9 e^{3 + 3 x} - 1 \cdot - 3 (e^{4 x} e^{2 x}) + e^{3 x} (2 e^{3 x})$

Paso 5.1.8.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$18 e^{3 + 3 x} - 12 e^{6 x} - 9 e^{3 + 3 x} - 1 \cdot - 3 e^{4 x + 2 x} + e^{3 x} (2 e^{3 x})$

Paso 5.1.8.3.3

Suma $4 x$ y $2 x$ .

$18 e^{3 + 3 x} - 12 e^{6 x} - 9 e^{3 + 3 x} - 1 \cdot - 3 e^{6 x} + e^{3 x} (2 e^{3 x})$

Paso 5.1.8.4

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$18 e^{3 + 3 x} - 12 e^{6 x} - 9 e^{3 + 3 x} + 3 e^{6 x} + e^{3 x} (2 e^{3 x})$

Paso 5.1.9

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$18 e^{3 + 3 x} - 12 e^{6 x} - 9 e^{3 + 3 x} + 3 e^{6 x} + 2 e^{3 x} e^{3 x}$

Paso 5.1.10

Multiplica $e^{3 x}$ por $e^{3 x}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.1.10.1

Mueve $e^{3 x}$ .

$18 e^{3 + 3 x} - 12 e^{6 x} - 9 e^{3 + 3 x} + 3 e^{6 x} + 2 (e^{3 x} e^{3 x})$

Paso 5.1.10.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$18 e^{3 + 3 x} - 12 e^{6 x} - 9 e^{3 + 3 x} + 3 e^{6 x} + 2 e^{3 x + 3 x}$

Paso 5.1.10.3

Suma $3 x$ y $3 x$ .

$18 e^{3 + 3 x} - 12 e^{6 x} - 9 e^{3 + 3 x} + 3 e^{6 x} + 2 e^{6 x}$

Paso 5.2

Resta $9 e^{3 + 3 x}$ de $18 e^{3 + 3 x}$ .

$9 e^{3 + 3 x} - 12 e^{6 x} + 3 e^{6 x} + 2 e^{6 x}$

Paso 5.3

Suma $- 12 e^{6 x}$ y $3 e^{6 x}$ .

$9 e^{3 + 3 x} - 9 e^{6 x} + 2 e^{6 x}$

Paso 5.4

Suma $- 9 e^{6 x}$ y $2 e^{6 x}$ .

$9 e^{3 + 3 x} - 7 e^{6 x}$